1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
Lê Xuân Minh Hoàng
HUẤN LUYỆN MẠNG NƠRON RBF VỚI MỐC
CÁCH ĐỀU VÀ ỨNG DỤNG
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY
Ngành: Công nghệ thông tin
HÀ NỘI – 2010
2
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
Lê Xuân Minh Hoàng
HUẤN LUYỆN MẠNG NƠRON RBF VỚI MỐC
CÁCH ĐỀU VÀ ỨNG DỤNG
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY
Ngành: Công nghệ thông tin
Cán bộ hướng dẫn: PGS.TS Hoàng Xuân Huấn
HÀ NỘI – 2010
3
LỜI CẢM ƠN
Tôi muốn bày tỏ sự cảm ơn sâu sắc của mình tới thầy Hoàng Xuân Huấn, thuộc
bộ môn Khoa học máy tính, khoa Công nghệ thông tin, trường Đại học Công nghệ,
ĐHQGHN đã nhận hướng dẫn và tin tưởng để giao cho tôi một đề tài thú vị như thế
này. Trong thời gian thực hiện khóa luận, thầy đã rất kiên nhẫn, nhiệt tình hướng dẫn
và giúp đỡ tôi rất nhiều. Chính những hiểu biết sâu rộng và kinh nghiệm nghiên cứu
khoa học của thầy đã hiều lần định hướng giúp tôi tránh khỏi đi những sai lầm và giúp
tôi vượt qua mỗi khi gặp những bế tắc khi thực hiện khóa luận này.
Tôi cũng muốn bày tỏ sự cảm ơn của mình tới các các thầy, các cô trong bộ
môn, cũng như các thầy, các cô trong khoa, trường đã tạo điều kiện và giúp đỡ để tôi
có thể thực hiện và hoàn thành được khóa luận này. Nếu không có những kiến thức
được đào tạo trong các năm vừa qua, tôi đã không thể hoàn thành khóa luận này.
4
TÓM TẮT NỘI DUNG
Mặc dù đã được nghiên cứu từ rất lâu, nhưng đến nay bài toán nội suy và xấp
xỉ hàm nhiều biến vẫn còn có rất ít công cụ toán học để giải quyết. Mạng Nơron nhân
tạo là một phương pháp hay để giải quyết bài toán nội suy, xấp xỉ hàm nhiều biến.
Năm 1987 M.J.D. Powell đã đưa ra một cách tiếp cận mới để giải quyết bài toán nội
suy hàm nhiều biến sử dụng kỹ thuật hàm cơ sở bán kính (Radial Basis Function –
RBF), năm 1988 D.S. Bromhead và D. Lowe đề xuất kiến trúc mạng Nơron RBF và đã
trở một công cụ hữu hiệu để giải quyết bài toán nội suy và xấp xỉ hàm nhiều biến(xem
[11]).
Năm 2006 Hoàng Xuân Huấn và các cộng sự (xem [1]) đã đưa ra thuật toán lặp
hai pha để huấn luyện mạng nơron RBF và đã cho ra kết quả tốt tuy nhiên nhược điểm
của nó là sai số lớn hơn khi dữ liệu phân bố không đều. Khi áp dụng phương pháp này
trên bộ dữ liệu cách đều đã cho ta thuật toán lặp một pha HDH mới với thời gian và
tính tổng quát tốt hơn rất nhiều. (xem [2])
Nội dung của khóa luận này là ứng dụng thuật toán huấn luyện mạng nơron
RBF với mốc cách đều để đưa ra một phương pháp nội suy xấp xỉ hàm nhiều biến với
bộ dữ liệu có nhiễu trắng và chứng minh hiệu quả thông qua việc xây dựng phần mềm
nội suy hàm số.
5
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ……………………………………………………………………………………………………..
1
CHƯƠNG 1 BÀI TOÁN NỘI SUY, XẤP XỈ HÀM SỐ VÀ MẠNG NƠRON RBF
………………………………………………………………………………………………………………….
13
1.1 BÀI TOÁN NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ ………………………………………
13
1.1.1 Bài toán nội suy.
………………………………………………………………………….
13
1.1.1.1 Nội suy hàm một biến.
………………………………………………………….
13
1.1.1.2 Bài toán nội suy hàm nhiều biến. ……………………………………………
14
1.1.2 Bài toán xấp xỉ ……………………………………………………………………………
14
1.1.3 Các phương pháp giải bài toán nội suy và xấp xỉ hàm số
……………………
14
1.2 MẠNG NƠRON NHÂN TẠO …………………………………………………………..
15
1.2.1 Mạng nơron sinh học :
………………………………………………………………….
15
1.2.2 Mạng Nơron nhân tạo
…………………………………………………………………..
16
1.3 MẠNG NƠRON RBF ………………………………………………………………………
20
1.3.1 Kỹ thuật hàm cơ sở bán kính và mạng nơron RBF
…………………………….
20
1.3.2 Kiến trúc mạng Nơron RBF…………………………………………………………..
22
1.3.3 Đặc điểm huấn luyện của mạng Nơron RBF
…………………………………….
23
CHƯƠNG 2 THUẬT TOÁN LẶP HDH HUẤN LUYỆN MẠNG RBF
……………
24
2.1 THUẬT TOÁN LẶP HDH HAI PHA HUẤN LUYỆN MẠNG RBF
……….
24
2.1.1 Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình tuyến tính
………………………..
24
2.1.2 Thuật toán lặp hai pha huấn luyện mạng RBF ………………………………….
24
2.1.3 Mô tả thuật toán. …………………………………………………………………………
25
2.1.4 Nhận xét
…………………………………………………………………………………….
26
2.2 THUẬT TOÁN LẶP HDH MỘT PHA HUẤN LUYỆN MẠNG RBF VỚI
BỘ DỮ LIỆU CÁCH ĐỀU …………………………………………………………………….
27
2.2.1 Biểu diễn các mốc nội suy
…………………………………………………………….
27
2.2.2 Mô tả thuật toán : ………………………………………………………………………..
27
2.2.3 Nhận xét
…………………………………………………………………………………….
28
6
CHƯƠNG 3 : ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN LẶP MỘT PHA HUẤN LUYỆN
MẠNG RBF VÀO VIỆC GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN NỘI SUY XẤP XỈ VỚI DỮ
LIỆU NHIỄU TRẮNG ………………………………………………………………………………..
29
3.1 NHIỄU TRẮNG VÀ BÀI TOÁN XẤP XỈ NỘI SUY VỚI DỮ LIỆU
NHIỄU
………………………………………………………………………………………………..
29
3.1.1 Bản chất của nhiễu trắng ………………………………………………………………
29
3.1.2 Phân phối chuẩn ………………………………………………………………………….
30
3.1.3 Bài toán nội suy xấp xỉ hàm với dữ liệu nhiễu trắng ………………………….
31
3.2 PHƯƠNG PHÁP HỒI QUY TUYẾN TÍNH K HÀNG XÓM GẦN
NHẤT …………………………………………………………………………………………………
32
3.2.1 Phát biểu bài toán hồi quy. ……………………………………………………………
32
3.2.2 Mô tả phương pháp kNN
………………………………………………………………
32
3.3. Ý TƯỞNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN NỘI SUY
XẤP XỈ VỚI DỮ NHIỆU NHIỄU……………………………………………………………
33
CHƯƠNG 4 XÂY DỰNG PHẦN MỀM MÔ PHỎNG ……………………………………
35
4.1 LẬP TRÌNH SINH NHIỄU TRẮNG THEO PHÂN PHỔI CHUẨN ………..
35
4.1.1 Phương pháp Box-Muller ……………………………………………………………..
35
4.1.2 Sinh nhiễu trắng từ hàm rand() trong C++ ……………………………………….
36
4.2 LẬP TRÌNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỦA BÀI TOÁN HỒI QUY
TUYẾN TÍNH KNN ……………………………………………………………………………..
36
4.3 GIỚI THIỆU PHẦN MỀM XẤP XỈ NỘI SUY VỚI DỮ LIỆU NHIỄU ……
37
4.3.1 Tổng quan phần mềm …………………………………………………………………..
37
4.3.2 Tổ chức dữ liệu …………………………………………………………………………..
38
4.3.3 Giao diện và chức năng ………………………………………………………………..
39
4.3.3.1 Tab “Nhập dữ liệu theo file”
………………………………………………….
39
4.3.3.2 Tab “Tự nhập”
…………………………………………………………………….
41
CHƯƠNG 5 KẾT QUẢ THÍ NGHIỆM ………………………………………………………..
43
5.1 THÍ NGHIỆM VỀ VIỆC THAY ĐỔI KÍCH THƯỚC LƯỚI ………………….
43
5.2 THÍ NGHIỆM VỀ VIỆC CHỌN K …………………………………………………….
47
7
5.3 THÍ NGHIỆM KHI TĂNG SỐ CHIỀU
……………………………………………….
49
5.4 SO SÁNH HIỆU QUẢ VỚI PHƯƠNG PHÁP KHÁC …………………………..
50
CHƯƠNG 6 TỔNG KẾT VÀ PHƯƠNG HƯỚNG PHÁT TRIỂN…………………..
52
6.1 Tổng kết …………………………………………………………………………………………
52
6.2 Phương hướng phát triển của đề tài
……………………………………………………..
53
TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………………………………………
54
8
BẢNG DANH MỤC CÁC HÌNH MINH HỌA
Hình 1 : Minh họa bài toán nội suy hàm một biến
………………………………………………
13
Hình 2: Minh họa một Neuron thần kinh sinh học
………………………………………………
16
Hình 3: Cấu tạo một Nơron nhân tạo………………………………………………………………..
17
Hình 4: Đồ thị hàm ngưỡng ……………………………………………………………………………
18
Hình 5: Đồ thị hàm tuyến tính
…………………………………………………………………………
18
Hình 6: Đồ thị hàm sigmoid
……………………………………………………………………………
18
Hình 7: Đồ thị hàm tank…………………………………………………………………………………
19
Hình 8: Đồ thị hàm Gauss
………………………………………………………………………………
19
Hình 9: Kiến trúc mạng Nơron truyền tới………………………………………………………….
20
Hình 10: Minh họa sự ảnh hưởng của hàm bán kính …………………………………………..
22
Hình 11: Kiến trúc của mạng RBF …………………………………………………………………..
23
Hình 12: Thuật toán HDH huấn luyện mạng RBF
………………………………………………
26
Hình 13 Dữ liệu có nhiễu trắng và hàm số chuẩn ……………………………………………….
30
Hình 14 Hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn với phương sai kỳ vọng khác
nhau
……………………………………………………………………………………………………………
31
Hình 15 Thể hiện lưới cách trên cơ sở miền giá trị của các mốc ban đầu………………..
34
Hình 16 Giao diện nhập dữ liệu theo file…………………………………………………………..
40
Hình 17 Giao diện nhập dữ liệu thủ công
………………………………………………………….
41
Hình 18 Sai số khi chọn các kích cỡ khác nhau của lưới dữ liệu cho bộ dữ liệu 100
mốc ngẫu nhiên, không áp dụng heuristic “ăn gian”
……………………………………………
44
Hình 19 Sai số khi chọn các kích cỡ khác nhau của lưới dữ liệu cho bộ dữ liệu 200
mốc ngẫu nhiên, không áp dụng heuristic “ăn gian”
……………………………………………
45
Hình 20 Sai số khi áp dụng các kích cỡ khác nhau của lưới dữ liệu cho bộ dữ liệu ngẫu
nhiên 100 mốc, có heuristic “ăn gian”
………………………………………………………………
45
Hình 21 Sai số khi chọn các kích cỡ khác của lưới dữ liệu cho bộ dữ liệu 200 mốc
ngẫu nhiên, có áp dụng heuristic “ăn gian” ……………………………………………………….
46
Hình 22 Bảng so sánh sai số của phương pháp kNN-HDH khi áp dụng cho hàm y1 với
các cách chọn k khác nhau
……………………………………………………………………………..
47
Hình 23 Bảng so sánh sai số của phương pháp kNN-HDH khi áp dụng cho hàm y2 với
các cách chọn k khác nhau
……………………………………………………………………………..
48
Hình 24 : Bảng so sánh sai số của phương pháp kNN-HDH khi dùng và không dùng
Heuristic, với số chiều tăng dần ………………………………………………………………………
50
Hình 25: Bảng so sánh kết quả với phương pháp GIC
…………………………………………
50
9
MỞ ĐẦU
Nội suy và xấp xỉ hàm số là một bài toán quen thuộc và rất quan trọng trong các
lĩnh vực khoa học đời sống từ xưa đến nay. Trường hợp hàm số một biến đã được nhà
toán học Lagrange nghiên cứu và giải quyết khá tốt bằng việc dùng hàm nội suy đa
thức từ thế kỷ 18. Trường hợp hàm nhiều biến vì những khó khăn trong xử lý toán học
cũng như tính ứng dụng trước đây chưa nhiều nên các công cụ giải quyết bài toán hàm
nhiều biến vẫn còn rất hạn chế. Ngày nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của máy vi
tính mà bài toán nội suy và xấp xỉ hàm nhiền biến đã trở thành một vấn đề thời sự vì
tính ứng dụng lớn của nó để giải quyết các vấn đề thực tiễn như phân lớp, nhận dạng
mẫu…
Mạng nơron nhân tạo được biết đến như một giải pháp tốt cho vấn đề này. Ban
đầu, khái niệm “Nơron nhân tạo” được biết đến lần đầu vào khoảng đầu thế kỷ 20
trong nỗ lực của con người nhằm chế tạo ra các bộ máy có khả năng suy nghĩ và học
hỏi như loài người bằng việc mô phỏng mạng nơron sinh học trong bộ não của chúng
ta. Trải qua nhiều năm phát triển và nghiên cứu, cơ sở lý thuyết và thực nghiệm về
mạng nơron nhân tạo đã có nhiều bước tiến đáng kể. Trong khoảng 30 năm trở lại đây,
với việc có thêm khả năng tính toán mạnh mẽ từ máy vi tính mà mạng nơron nhân tạo
được coi là một trong những công cụ có thể giải quyết tốt bài toán nội suy hàm nhiều
biến và trong thực tế hiện nay, mạng nơron nhân tạo đã được ứng dụng rất nhiều trong
các ứng dụng nội suy hàm nhiều biến như phân lớp, nhận dạng mẫu …. Mạng nơron
nhân tạo có nhiều loại, trong đó có mạng nơron RBF – sau này được gọi tắt là mạng
RBF – được coi là một trong những loại nơron nhân tạo tốt nhất để giải quyết bài toán
nội suy hàm nhiều biến. Mạng RBF đã được chú trọng nghiên cứu và đã có khá nhiều
thuật toán huấn luyện mạng RBF được áp dụng nhiều trong các ứng dụng cho thấy kết
quả rất khả quan. Cùng với nhu cầu huấn luyện mạng RBF một nghiên cứu mới đây
được thực hiện bởi Hoàng Xuân Huấn và các cộng sự (xem [1]) để xây dựng thuật
toán huấn luyện nhanh mạng RBF đã cho ra đời một thuật toán lặp được đặt tên là là
thuật toán HDH. Kết quả thực nghiệm cho thấy thuật toán lặp HDH gồm có hai pha,
khi nội suy hàm nhiều biến cho sai số và tốc độ tính toán rất tốt so với các thuật toán
hiện hành khác. Đặc biệt khi huấn luyện trên bộ dữ liệu cách đều thì thuật toán này chỉ
cần dùng một pha và giảm tiếp phần lớn thời gian tính toán. (xem [2])
10
Ngoài ra trong các ứng dụng thực tế với các bài toán nội suy người ta còn thẩy
nổi lên một vấn đề quan trọng khác, đó là do các các yếu tố khách quan, bất khả kháng
mà nảy sinh sai số tại kết quả đo tại các mốc nội suy. Việc tiến hành xây dựng hệ
thống nội suy xấp xỉ dựa trên các dữ liệu sai lệch làm cho hiệu quả bị thấp. Đây là một
bài toán được đặt ra từ lâu nhưng vẫn còn thu hút nhiều nghiên cứu, cải tiến cho đến
tận bây giờ. Nhiều nghiên cứu đã được tiến hành để vừa nội suy xấp xỉ tốt vừa khử
được nhiễu, một phương pháp được biết đến là phương pháp hồi quy tuyến tính k hàng
xóm gần nhất, (từ giờ xin gọi tắt là phương pháp kNN ) bằng việc xây dựng hàm tuyến
tính bậc 1 để cực tiểu hóa sai số tại k điểm gần nhất so với điểm cần tìm giá trị nội suy.
Nhược điểm của phương pháp này là chỉ có thể tính được giá trị hồi quy tại 1 điểm
được chỉ định trước, với mỗi điểm cần tính toán lại phải hồi quy lại từ đầu, không thể
xây dựng nên 1 hệ thống cho phép đưa ra ngay kết quả nội suy hàm số tại điểm tùy ý.
Với bài toán nội suy xấp xỉ trên dữ liệu nhiễu này, Hoàng Xuấn Huấn đã nảy ra
ý tưởng ứng dụng thuật toán lặp HDH một pha để giải quyết, cụ thể là trên miền giá trị
các mốc nội suy ban đầu, ta xây dựng nên 1 bộ các mốc nội suy mới cách đều nhau (từ
giờ xin được gọi là lưới nội suy cho gọn), sau đó dùng phương pháp hồi quy tuyến tính
kNN để tính giá trị tại mỗi nút của lưới nội suy mới, cuối cùng dùng thuật toán lặp
HDH một pha để huấn luyện mạng nơron RBF trên bộ dữ liệu cách đều mới này, ta sẽ
được một mạng nơron RBF vừa khử được nhiễu vừa nội suy xấp xỉ tốt. Phương pháp
này có thể kết hợp ưu điểm khử nhiễu của phương pháp kNN với ưu điểm về tốc độ và
tính tổng quát của thuật toán lặp HDH một pha đồng thời loại bỏ tính bất tiện của
phương pháp kNN như đã nêu trên và hạn chế của thuật toán HDH một pha rằng dữ
liệu đầu vào phải có các mốc nội suy cách đều.
Từ ý tưởng ban đầu này đến thực tế, với vô số câu hỏi cần lời đáp, như chia
lưới cách đều thế nào là đủ ? Nếu quá thưa thì sai số có quá lớn không ? Nếu quá dày
thì liệu thời gian huấn luyện có đạt yêu cầu không ? Các yếu tố nào ảnh hưởng đến
hiệu quả huấn luyện để từ đó điều chỉnh làm tăng chất lượng mạng ? …. là một đề tài
hết sức thú vị để tìm hiểu. Dưới sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của thầy Hoàng Xuân
Huấn, tôi đã tiến hành thực hiện khóa luận tốt nghiệp, nội dung là nghiên cứu thực
nghiệm để cụ thể hóa và kiểm chứng hiệu quả của phương pháp mới này, lấy tên đề tài
là : “Huấn luyện mạng nơron RBF với mốc cách đều và ứng dụng”.
Nội dung của khóa luận sẽ đi sâu nghiên cứu những vấn đề sau :
11
–
Khảo cứu mạng nơron RBF.
–
Khảo cứu nghiên cứu thuật toán lặp HDH một pha với bộ dữ liệu cách đều.
–
Tìm hiểu nhiễu trắng phân phối chuẩn và cách xây dựng.
–
Khảo cứu phương pháp hồi quy tuyến tính kNN.
–
Xây dựng phần mềm mô phỏng hệ thống nội suy hàm nhiều biến với dữ
liệu có nhiễu dựa trên việc kết hợp phương pháp kNN và thuật toán lặp HDH một pha.
–
Thông qua lý thuyết lẫn thực nghiệm, nghiên cứu đặc điểm, cải tiến hiệu
quả phương pháp này, chỉ ra ưu điểm so với các phương pháp khác.
Để trình bày các nội dung nghiên cứu một cách logic, nội dung khóa luận được
chia làm 4 phần chương chính :
– Chương 1 : Bài toán nội suy xấp xỉ hàm số và mạng nơron RBF :
Chương này sẽ cung cấp cái nhìn tổng thể về những khái niệm xuyên
suốt trong khóa luận, bao gồm : bài toán nội suy xấp xỉ hàm nhiều biến,
mạng RBF.
– Chương 2 : Thuật toán lặp HDH huấn luyện mạng nơron RBF.
Chương này sẽ mô tả phương pháp huấn luyện mạng RBF bằng thuật
toán HDH hai pha với dữ liệu ngẫu nhiên và đặc biệt là thuật toán HDH
một pha với dữ liệu cách đều làm nền tảng cho phương pháp mới.
Chương 3 : Ứng dụng thuật toán lặp một pha huấn luyện mạng RBF vào việc giải
quyết bài toán nội suy xấp xỉ với dữ liệu nhiễu trắng.
Chương này sẽ khảo cứu về nhiễu trắng và phương pháp hồi quy tuyến
tính kNN. Từ đó trình bày ý tưởng mới để áp dụng thuật toán HDH một
pha trên bộ dữ liệu không cách đều và có nhiễu bằng cách thay bộ dữ
liệu đầu vào ban đầu bằng bộ dữ liệu mới với các mốc nội suy cách đều
và đã kết quả đo đã được khử nhiễu thông qua phương pháp kNN. Nó
cùng với chương 5 thực nghiệm là hai chương trọng tâm của khóa luận
này.
– Chương 4 : Xây dựng phần mềm mô phỏng.
Chương này tôi trình bày về phương pháp giải quyết các bài toán nhỏ
như sinh nhiễu trắng theo phân phối chuẩn, hồi quy tuyến tính kNN để
12
đưa ra phương hướng lập trình cho chúng. Đồng thời trình bày tổng quan
và giao diện, các chức năng của phần mềm
– Chương 5 : Kết quả thí nghiệm
Chương này tôi trình bày quá trình và kết quả nghiên cứu thực nghiệm,
bao gồm việc xây dựng phần mềm mô phỏng, nghiên cứu tính tổng quát
với các hàm, các bộ dữ liệu với nhau. Rút ra kết luận về đặc điểm, cách
chọn lưới dữ liệu, chọn k … để hoàn thiện phương pháp này. Đồng thời
so sánh sai số của phương pháp này với sai số một phương pháp khác đã
được công bố tại một tạp chí khoa học quốc tế có uy tín.
– Chương 6: Tổng kết và phương hướng phát triển đề tài
Chương này tôi tổng kết lại những gì làm được trong khóa luận này và
phương hướng phát triển cho đề tài.
13
CHƯƠNG 1
BÀI TOÁN NỘI SUY, XẤP XỈ HÀM SỐ VÀ MẠNG NƠRON RBF
Nội dung chương này bao gồm :
Phát biểu bài toán nội suy và xấp xỉ hàm số
Mạng Nơron nhân tạo
Mạng Nơron RBF
Bài toán nội suy xấp xỉ với dữ liệu có nhiễu trắng
1.1 BÀI TOÁN NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ
1.1.1 Bài toán nội suy.
1.1.1.1
Nội suy hàm một biến.
Bài toán nội suy hàm một biến tổng quát được đặt ra như sau: Một hàm số
y=f(x) ta chưa xác định được mà chỉ biết được các điểm x0 = a < x1 < x2 < … < xn-1 <
xn = b với các giá trị yi= f(xi). Ta cần tìm một biểu thức giải tích (x) để xác định
gần đúng giá trị
y
x
tại các điểm
của hàm f(x) sao cho tại các điểm xi
thì hàm số trùng với giá trị yi đã biết . Về phương diện hình học, ta cần tìm hàm (x)
có dạng đã biết sao cho đồ thị của nó đi qua các điểm(xi,yi) với mọi i=0,1,...,n.
Hình 1 : Minh họa bài toán nội suy hàm một biến
Trong các ứng dụng thực tế hàm f(x) thường là hàm thực nghiệm hoặc khó tính
nên các giá trị yi chỉ lấy được bằng cách đo tại các điểm cố định xi . Các điểm
0
N
i
i
x
được gọi là các mốc nội suy.
x0
x1
xn
f(x0)
f(x)
(x
)
14
1.1.1.2
Bài toán nội suy hàm nhiều biến.
Tương tự bài toán nội suy hàm một biến. Xét một hàm chưa biết
: (
)
n
m
f D
R
R
và một tập huấn luyện
1
,
;
,
N
k
k
k
n
k
m
k
x
y
x
R
y
R
sao cho
(
)
;
1,
k
k
f x
y
k
n
. Chúng ta cần tìm một hàm số ở một dạng đã biết để thỏa mãn
điều kiện nội suy đó là : (
)
;
1,
k
k
x
y
k
n
Với trường hợp m>1, bài toán tương đương với m bài toán nội suy m hàm nhiều
biến giá trị thực, nên để đơn giản người ta thường xét bài toán có m=1.
1.1.2 Bài toán xấp xỉ
Hàm
x
f
y
đo được tại n điểm thuộc đoạn
b
a,
1
2
n
x
x
x
;
i
i
y
f x
Với
1
n
k
, ta tìm hàm
(1)
Trong đó là dạng hàm cho trước, c1….ck là các tham số cần tìm sao cho sai số
trung bình phương
2
1
1
n
i
i
i
x
y
n
nhỏ nhất. Khi đó ta nói
là hàm xấp
xỉ tốt nhất của y trong lớp hàm có dạng (1) theo nghĩa tổng bình phương tối thiểu.
1.1.3 Các phương pháp giải bài toán nội suy và xấp xỉ hàm số
Bài toán nội suy hàm một biến đã được nghiên cứu nhiều từ thế kỷ 18.
Ban đầu nó được giải quyết bằng phương pháp sử dụng đa thức nội suy: đa thức
Lagrange, đa thức Chebysept… tuy nhiên khi số mốc nội suy lớn thì nội suy bằng
đa thức thường xãy ra hiện tượng phù hợp trội(over-fitting) do bậc của đa thức
thường tăng theo số mốc nội suy. Để giải quyết hiện tượng phù hợp trội, thay vì
tìm đa thức nội suy người ta chỉ tìm đa thức xấp xỉ, thường được giải quyết bằng
phương pháp xấp xỉ bình phương tối thiểu của Gauss. Một phương pháp khác
được đề xuất vào đầu thế kỷ 20 đó là phương pháp nội suy Spline. Trong đó hàm
nội suy được xác định nhờ ghép trơn các hàm nội suy dạng đơn giản (thường
dùng đa thức bậc thấp) trên từng đoạn con. Phương pháp này hay được áp dụng
nhiều trong kỹ thuật.
Tuy nhiên, như đã trình bày ở trên, các ứng dụng mạnh mẽ nhất của nội
suy hàm nhiều biến trong thực tế ngày nay đòi hỏi phải giải quyết được bài toán
nội suy hàm nhiều biến. Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của ngành Công Nghệ
15
Thông Tin, bài toán nội suy xấp xỉ hàm nhiều biến được quan tâm và có những
nghiên cứu đột phá trong khoảng 30 năm trở lại đây, với các cách tiếp cận chủ
yếu như :
– Học dựa trên mẫu : Thuật ngữ này được T.Mitchell dùng để chỉ các
phương pháp k-láng giêngf agần nhất, phương pháp hồi quy trọng số địa
phương
– Mạng nơron MLP
– Mạng nơron RBF
Để hiểu rõ hơn, xin xem thêm trong [3]
1.2 MẠNG NƠRON NHÂN TẠO
Loài người tiến hóa được đến ngày hôm nay là do có bộ não vượt trội so với
các loài khác. Mặc dù vậy, bộ não người cho đến nay vẫn chứa đựng nhiều bí mật mà
con người chưa giải đáp hết được. Đã có nhiền nghiên cứu về bộ não người, bao gồm
những nỗ lực mô phỏng não người để tạo ra trí thông minh nhân tạo mà cấu trúc mạng
nơron sinh học là một kết quả quan trọng. Mạng nơron sinh học là một mạng lưới
chằng chịt các nơron có kết nối với nhau nằm trong não người.
Lấy ý tưởng từ mạng nơron sinh học, khái niệm mạng nơron nhân tạo đã ra đời,
đó là một mạng gồm có các nút được thiết kế để mô hình một số tính chất của mạng
nơron sinh học. Về mặt toán học thì mạng nơron nhân tạo như là một công cụ để xấp
xỉ một hàm số trong không gian đa chiều. Ngoài ra, điểm giống nhau giữa mạng nơron
nhân tạo và mạng nơron sinh học, đó là khả năng có thể huấn luyện hay khả năng học,
đây chính là ưu điểm quan trọng nhất của mạng nơron nhân tạo, chính vì điều này mà
mạng nơron nhân tạo có thể thực hiện tốt một công việc khác khi được huấn luyện và
đến khi môi trường thay đổi mang nơron nhân tạo lại có thể được huấn luyện lại để
thích nghi với điều kiện mới..
1.2.1 Mạng nơron sinh học :
Mạng Nơron sinh học là một mạng lưới (plexus) các Neuron có kết nối hoặc có
liên quan về mặt chức năng trực thuộc hệ thần kinh ngoại biên (peripheral nervous
system) hay hệ thần kinh trung ương (central nervous system).
16
Hình 2: Minh họa một Neuron thần kinh sinh học
Trên đây là hình ảnh của một tế bào thần kinh(Nơron thần kinh), ta chú ý thấy
rằng một tế bào thần kinh có ba phần quan trọng:
-Phần đầu cũng có nhiều xúc tu (Dendrite) là nơi tiếp xúc với các với các điểm
kết nối(Axon Terminal) của các tế bào thần kinh khác
-Nhân của tế bào thần kinh (Nucleus) là nơi tiếp nhận các tín hiệu điện truyền
từ xúc tu. Sau khi tổng hợp và xử lý các tín hiệu nhận được nó truyền tín hiệu kết quả
qua trục cảm ứng (Axon) đến các điểm kết nối (Axon Terminal) ở đuôi.
-Phần đuôi có nhiều điểm kết nối (Axon Terminal) để kết nối với các tế bào
thần kinh khác.
Khi tín hiệu vào ở xúc tu kích hoạt nhân nhân Neuron có tín hiệu ra ở trục cảm
ứng thì Neuron được gọi là cháy. Mặc dù W. Mculloch và W.Pitts (1940) đề xuất mô
hình mạng nơron nhân tạo khá sớm nhưng định đề Heb (1949) mới là nền tảng lý luận
cho mạng nơron nhân tạo.
Định đề Heb: Khi một neuron(thần kinh) A ở gần neuron B, kích hoạt thường
xuyên hoặc lặp lại việc làm cháy nó thì phát triển một quá trình sinh hoá ở các neuron
làm tăng tác động này.
1.2.2 Mạng Nơron nhân tạo
Mạng Nơron nhân tạo được thiết kế để mô phỏng một số tính chất của mạng
Nơron sinh học, tuy nhiên, ứng dụng của nó phần lớn lại có bản chất kỹ thuật. Mạng
Nơron nhân tạo (Artificial Neural Network) là một máy mô phỏng cách bộ não hoạt
động và thực hiên các nhiệm vụ, nó giống mạng nơron sinh học ở hai điểm :
17
-Tri thức được nắm bắt bởi Nơron thông qua quá trình học.
-Độ lớn của trọng số kết nối Nơron đóng vai trò khớp nối cất giữ thông tin.
a) Cấu tạo một Nơron trong mạng Nơron nhân tạo
Hình 3: Cấu tạo một Nơron nhân tạo
Một neuron bao gồm các liên kết nhận tín hiệu vào bao gồm các số thực xi cùng
các trọng số kết nối wi tương ứng với nó, hàm F gọi là hàm kích hoạt để tạo tín hiệu ra
dựa trên giá trị hàm tổng có trọng số của các giá trị đầu vào, Y là giá trị đầu ra của
Nơron. Ta có thể biểu diễn một Nơron nhân tạo theo công thức toán học như sau:
0
1
w
n
i
i
i
Y
F
x w
Tùy vào thực tế bài toán hàm F là một hàm cụ thể nào đấy, trong quá trình huấn
luyện(học) thì các tham số wi được xác định. Trên thực thế F thường được chọn trong
những hàm sau:
Xn
X1
X2
……
w2
w1
w3
w0
f
Y
18
1) Hàm ngưỡng
1;
0
( )
( )
1;
0
x
F x
x
x
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-6
-4
-2
0
2
4
6
Hình 4: Đồ thị hàm ngưỡng
2) Hàm tuyến
tính
( )
F x
ax
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-6
-4
-2
0
2
4
6
Hình 5: Đồ thị hàm tuyến tính
3) Hàm sigmoid
1
( )
1
x
F x
e
0
0.5
1
-6
-4
-2
0
2
4
6
Hình 6: Đồ thị hàm sigmoid
19
4) Hàm tank
1
( )
1
x
x
e
F x
e
-1
-0.5
0
0.5
1
-6
-4
-2
0
2
4
6
Hình 7: Đồ thị hàm tank
5) Hàm bán kính
(Gauss)
2
( )
x
F x
e
0
0.5
1
-6
-4
-2
0
2
4
6
Hình 8: Đồ thị hàm Gauss
Trên thực tế thì các họ hàm sigmoid thường dùng cho mạng Nơron truyền thẳng
nhiều tầng MLP vì các hàm này dễ tính đạo hàm: ‘( )
( )(1
( ))
f x
f x
f x
, trong khi đó
mạng Nơron RBF lại dùng hàm kích hoạt là hàm bán kính vì tính địa phương – một ưu
điểm của mạng RBF sẽ được trình bày rõ hơn trong phần sau..
b) Kiến trúc của mạng Nơron nhân tạo
Kiến trúc của mạng Nơron nhân tạo lấy ý tưởng của mạng Nơron sinh học đó là
sự kết nối của các Nơron. Tuy nhiên, mạng Nơron nhân tạo có kiến trúc đơn giản hơn
nhiều, về cả số lượng Neuron và cả kiến trúc mạng, trong khi ở mạng Nơron tự nhiên
một Neuron có thể kết nối với một Neuron khác bất kỳ ở trong mạng thì ở mạng
Nơron nhân tạo các Neuron được kết nối sao cho nó có thể dễ dàng được biểu diễn bởi
một mô hình toán học nào đấy. Ví dụ là trong mạng nơron truyền tới hay mạng nơron
RBF các Neuron được phân thành nhiều lớp, các Neuron chỉ được kết nối với các
neuron ở lớp liền trước hoặc liền sau lớp của nó
20
Hình 9: Kiến trúc mạng Nơron truyền tới
c) Quá trình học
Như đã nói ở trên mạng Nơron nhân tạo có khả năng huấn luyện được (học),
quá trình huấn luyện là quá trình mà mạng Nơron nhân tạo tự thay đổi mình theo môi
trường – ở đây là bộ dữ liệu huấn luyện – để cho ra kết quả phù hợp nhất với điều kiện
của môi trường. Điều kiện để quá trình huấn luyện có thể được thực hiện là khi mạng
Nơron nhân tạo đã xác định được kiến trúc cụ thể (thường là theo kinh nghiệm) trong
đó bao gồm hàm kích hoạt F. Về bản chất quá trình học là quá trình xác định các tham
số wi của các Neuron trong mạng Nơron và tùy theo các thuật toán huấn luyện cụ thể,
có thể bao gồm việc xác định các tham số còn chưa biết trong hàm kích hoạt. Có ba
kiểu học chính, mỗi kiểu mẫu tương ứng với một nhiệm vụ học trừu tượng. Đó là học
có giám sát, học không có giám sát và học tăng cường. Dưới đây xin nêu ra phương
pháp học có giám sát, là phương pháp được dùng trong khóa luận này. Các phương
pháp khác xem thêm [4] – chapter 4.
Học có giám sát
Trong học có giám sát, ta được cho trước một tập ví dụ gồm các cặp
( ,
,
1.. ),
,
i
i
x y i
n x
X y Y
và mục tiêu là tìm một hàm :
f X
Y
(trong lớp các hàm
được phép) khớp với các ví dụ. Trên thực tế người ta thường tìm hàm f sao cho tổng
bình phương sai số đạt giá trị nhỏ nhất trên tập ví dụ:
2
1
(
)
n
i
i
i
E
f x
y
1.3 MẠNG NƠRON RBF
1.3.1 Kỹ thuật hàm cơ sở bán kính và mạng nơron RBF
Hàm cơ sở bán kính được giới thiệu bởi M.J.D. Powell để giải quyết bài toán
nội suy hàm nhiều biến năm 1987. Trong lĩnh vực mạng Nơron, mạng Nơron RBF
21
được đề xuất bởi D.S. Bromhead và D. Lowe năm 1988 cho bài toán nội suy và xấp xỉ
hàm nhiều biến(xem [5]).
Dưới đây sẽ trình bày sơ lược kỹ thuật sử dụng hàm cơ sở bán kính để giải
quyết bài toán nội suy hàm nhiều biến.
Kỹ thuật hàm cơ sở bán kính
Không mất tính tổng quát giả sử m=1 khi đó hàm nội suy có dạng như sau :
(1)
ở đây
k
là hàm cơ sở bán kính thứ k. Thông thường
k
có những dạng sau:
(2)
(3)
(4)
Trên thực tế thì người ta thường cho
k
ở dạng (2) và trong khuôn khổ khóa
luận này chỉ xét
k
ở dạng (2).
chú ý rằng ở đây người ta ta dùng chuẩn ||.|| là chuẩn Euclidean
2
1
N
i
i
u
u
;
k
v
là tâm của mỗi hàm cở sở bán kính
k
;
k
là bán kính hay còn gọi là tham số độ rộng của
k
.
Ta thấy với dạng hàm bán kính đã chọn ở trên thì khoảng cách giữa vecto input
x và tâm
k
v càng lớn thì giá trị của hàm bán kính càng nhỏ. Với mỗi k thì giá trị của
bán kính
k
được dùng để điều khiển miền ảnh hưởng của hàm bán kính
k
. Theo đó,
nếu
3
k
k
x
v
thì giá hàm
( )
k x
< e-9 là rất nhỏ, không có ý nghĩa.
22
Hình 10: Minh họa sự ảnh hưởng của hàm bán kính
Ví dụ như ở hình trên một vòng tròn to tượng trưng cho một hàm cơ sở bán
kính, các hàm này chỉ ảnh hưởng đến các điểm bên trong nó bán kính của nó.
Thay công thức (2) vào (1) ta được biểu diễn toán học của kỹ thuật hàm cơ sở
bán kính như sau:
2
2
0
0
1
1
(
)
(
)
j
k
k
x
v
N
N
j
j
j
k
k
k
k
k
x
w
x
w
w e
w
y
(5)
Một đặc điểm rất lợi thế khi sử dụng hàm bán kính để giải quyết bài toán nội
suy hàm nhiều biến, đó là khi xét giá bình phương sai số
2
1
n
i
i
i
E
x
y
thì
người ta đã chứng minh được rằng E chỉ có một cực trị duy nhất. Do vậy việc tìm các
tham số của các hàm cơ sở bán kính(
,
,
k
k
k
w v ) để cho E đạt cực tiểu sẽ được giải
quyết rất nhanh và hiệu quả.
1.3.2 Kiến trúc mạng Nơron RBF
Mạng RBF là một loại mạng Nơron nhân tạo truyền thẳng gồm có ba lớp. Nó
bao gồm n nút của lớp đầu vào cho vector đầu vào
n
x R
, N nơron ẩn (giá trị của
Nơron ẩn thứ k chính là giá trị trả về của hàm cơ sở bán kính
k
) và m Nơron đầu ra.
23
Hình 11: Kiến trúc của mạng RBF
Dĩ nhiên, như đã nói ở trên, không mất tính tổng quát, nội dung khóa luận này chỉ xét
trường hợp m=1.
1.3.3 Đặc điểm huấn luyện của mạng Nơron RBF
Ưu điểm của mạng RBF là thời gian huấn luyện ngắn, việc thiết lập rất nhanh và đơn
giản . Ngày nay mạng Nơron RBF được sử dụng trong rất nhiều lĩnh vực:
Xử lý ảnh
Nhận dạng tiếng nói
Xử lý tín hiệu số
Xác định mục tiêu cho Radar
Chuẩn đoán y học
Quá trình phát hiện lỗi
Nhận dạng mẫu
….
INPUT
OUTPUT
HIDDEN
k
x
w
w0
w0
Y
X
24
CHƯƠNG 2 :
THUẬT TOÁN LẶP HDH HUẤN LUYỆN MẠNG RBF
Nội dung chương này bao gồm :
2.1 Mô tả thuật toán lặp HDH hai pha dùng cho dữ liệu huấn luyện bất kỳ
2.2 Mô tả thuật toán lặp HDH một pha dùng cho dữ liệu huấn luyện cách đều
(chi tiết về 2 thuật toán này xin xem thêm tại [6])
2.1. THUẬT TOÁN LẶP HDH HAI PHA HUẤN LUYỆN MẠNG RBF
Trong chương này, trước khi đề cập đến thuật toán lặp, tôi xin được trình bày
cơ sở lý thuyết được dùng để xây dựng thuật toán
2.1.1 Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình tuyến tính
Giả sử ta cần giải hệ phương trình
Ax=B
Trước hết ta đưa về hệ tương đương
X=Bx+d
Trong đó B là ma trận vuông cấp n thỏa mãnj
||B||=max{
i,j| / i=1..n}
Phương pháp lặp đơn
Với vecto x0=
bất kỳ, dãy nghiệm của phương trình được xây dựng bởi
công thức lặp
xk+1 = Bxk + d; ( xk+1
i
=
i,jxk
j+d)
thỏa mãn
= x* trong đó x* là nghiệm đúng duy nhất của
Với ước lượng sai số
||x*
i-xk
i|| <=
max{| xk
j – xk-1
j |}
Thông thường ta có thể chọn x0=d, khi đó coi như ta đã tính xấp xỉ ban đầu với
x0 = 0 và x0=d là bước tiếp theo.
2.1.2 Thuật toán lặp hai pha huấn luyện mạng RBF
Xét tập huấn luyện
1
,
;
,
N
k
k
k
n
k
m
k
x
y
x
R
y
R
, không mất tính tổng quát, ở
đây ta xét mạng RBF có một Nơron output (m=1), khi đó biểu diễn toán học của mạng
RBF là:
25
0
1
(
)
(
)
N
i
i
i
k
k
k
x
w
x
w
y
(1)
Xét ma trận
,
k i
N
N
trong đó
2
2
||
|| /
,
(
)
i
k
k
x
x
i
k i
k x
e
, chú ý rằng ở đây
ta chọn tâm của các hàm cơ sở bán kính chính là tất cả các điểm thuộc tập dữ liệu
input X.
Ta ký hiệu I là ma trận đơn vị cấp N ; W=
N
w
w
...
1
, Z=
N
z
z
...
1
là các véc tơ trong
không gian N-chiều RN trong đó:
,
N
k
(2)
và đặt
NxN
j
k
I
,
(3)
thì
2
2
,
||
|| /
0;
:
;
:
j
k
k
k j
x
x
khi k
j
e
khi k
j
(4)
Khi đó hệ phương trình (1) tương đương với hệ :
W= W +Z
(5)
Như đã nói ở 1.3.1, với các tham số
k
đã chọn và w0 tùy ý, hệ (1) và do đó hệ
(5) luôn có duy nhất nghiệm W. Về sau giá tri w0 được chọn là trung bình cộng của các
giá trị yk:
w0 =
N
k
k
y
N
1
1
(6)
Với mỗi k
N, ta có hàm qk của
k
xác định như sau:
N
j
j
k
k
q
1
,
(7)
Hàm qk là đơn điệu tăng và với mọi số dương q <1 luôn tồn tại giá trị
k
sao
cho qk(
k
)=q.
2.1.3. Mô tả thuật toán.
Với sai số và các hằng số dương q, <1 cho trước, thuật toán bao gồm 2
pha để xác định các tham số k và W*. Trong pha thứ nhất, ta sẽ xác định các
k
để qk
q và gần với q nhất (nghĩa là nếu thay k=k/ thì qk>q). Pha sau tìm nghiệm gần
